Cho đường tròn (O; R), điểm A ở ngoài đường tròn

a) Ta có:
- Gọi M là trung điểm của cung AB không chứa điểm A.
- Gọi N là trung điểm của cung AD không chứa điểm A.
- Gọi E là giao điểm của dây BM và dây CN.
- Gọi H là giao điểm của dây BE và dây AO.

Ta có:
- Vì BM là đường kính của đường tròn (O) nên OM vuông góc với BM.
- Vì ME // OA nên ME cũng vuông góc với BM.
- Vậy M, E, O thẳng hàng.
- Vì dây BE và dây AO cắt nhau tại H nên tam giác BHE và tam giác AHO đồng dạng.
- Vậy BH // AO và HE // OA.
- Vì BH // AO nên tam giác BHE và tam giác ABE đồng dạng.
- Vậy góc AEB = góc BEH = góc BHE = góc BAE.
- Vậy AE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Ta có:
- Vì AE là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc AEB = 90°.
- Vì ME // OA nên góc AEM = góc AOE = 90°.
- Vậy góc AEM = góc AEB = 90°.
- Vậy tam giác AEM vuông tại E.
- Vì EM // OA nên tam giác AEM và tam giác AIO đồng dạng.
- Vậy AE/AI = EM/OI.
- Vì AE là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AE = R.
- Vì OI = R - r (vì I là điểm trên đường tròn (O) nên OI = R - r).
- Vậy AE/AI = EM/(R - r).
- Vậy EM = AE * (R - r)/AI = R * (R - r)/AI.

c) Ta có:
- Vì OI = R - r nên AI = AO - OI = R - (R - r) = r.
- Vậy EM = R * (R - r)/AI = R * (R - r)/r = R^2/r - R.
- Vậy EM = R^2/r - R.