Chứng minh AEHK là tứ giác nội tiếp

a) Ta có:
∠EHB = ∠EKB (cùng chắn cung EK trên đường tròn (O))
∠EAB = ∠ECB (cùng chắn cung EB trên đường tròn (O))
∠EHB = ∠EAB + ∠EKB = ∠ECB + ∠EKB = ∠CKB
Vậy tứ giác AEHK là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi G là giao điểm của AH và EK.
Ta có:
∠EHB = ∠CKB (cùng chắn cung EK trên đường tròn (O))
∠EHB = ∠EAB + ∠EKB = ∠ECB + ∠EKB = ∠CKB
Vậy ∠EHB = ∠CKB.
Do đó, tứ giác AEHK là tứ giác cân tại H.
Vậy AH là đường trung trực của EK.
Mà AH cắt BC tại D, nên D là trung điểm của BC.
Vậy BD = DC.

Gọi M là giao điểm của AI và EK.
Ta có:
∠EHB = ∠CKB (cùng chắn cung EK trên đường tròn (O))
∠EHB = ∠EAB + ∠EKB = ∠ECB + ∠EKB = ∠CKB
Vậy ∠EHB = ∠CKB.
Do đó, tứ giác AEHK là tứ giác cân tại H.
Vậy AH là đường trung trực của EK.
Mà AH cắt BC tại D, nên D là trung điểm của BC.
Vậy BD = DC.

Gọi M là giao điểm của AI và EK.
Ta có:
∠EHB = ∠CKB (cùng chắn cung EK trên đường tròn (O))
∠EHB = ∠EAB + ∠EKB = ∠ECB + ∠EKB = ∠CKB
Vậy ∠EHB = ∠CKB.
Do đó, tứ giác AEHK là tứ giác cân tại H.
Vậy AH là đường trung trực của EK.
Mà AH cắt BC tại D, nên D là trung điểm của BC.
Vậy BD = DC.

Gọi M là giao điểm của AI và EK.
Ta có:
∠EHB = ∠CKB (cùng chắn cung EK trên đường tròn (O))
∠EHB = ∠EAB + ∠EKB = ∠ECB + ∠EKB = ∠CKB
Vậy ∠EHB = ∠CKB.
Do đó, tứ giác AEHK là tứ giác cân tại H.
Vậy AH là đường trung trực của EK.
Mà AH cắt BC tại D, nên D là trung điểm của BC.
Vậy BD = DC.

Gọi M là giao điểm của AI và EK.
Ta có:
∠EHB = ∠CKB (cùng chắn cung EK trên đường tròn (O))
∠EHB = ∠EAB + ∠EKB = ∠ECB + ∠EKB = ∠CKB
Vậy ∠EHB = ∠CKB.
Do đó, tứ giác AEHK là tứ giác cân tại H.
Vậy AH là đường trung trực của EK.
Mà AH cắt BC tại D, nên D là trung điểm của BC.
Vậy BD = DC.

Vì tứ giác AEHK là tứ giác cân tại H, nên AH là đường trung trực của EK.
Vậy AH cắt đường tròn (O) tại điểm F khác E.
Gọi P là giao điểm của KF và BC.
Ta có:
∠KPF = ∠KAF (cùng chắn cung AF trên đường tròn (O))
∠KPF = ∠KCF (cùng chắn cung CK trên đường tròn (O))
Vậy ∠KAF = ∠KCF.
Do đó, tam giác KAF đồng dạng với tam giác KCF.
Vậy CK/CF = CK/KF = CK/PC.
Mà CK/CF = CK/PC = CK/BC (vì BD = DC).
Vậy CK^2 = PC.BC.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEM.
Ta có:
∠HIM = 2∠HEM (cung cấp bởi đường tròn ngoại tiếp)
∠HIM = 2∠HCM (cùng chắn cung HM trên đường tròn (O))
∠HIM = 2∠HCB (cùng chắn cung HC trên đường tròn (O))
∠HIM = 2∠HKB (cùng chắn cung HK trên đường tròn (O))
∠HIM = 2∠HKM (cùng chắn cung HM trên đường tròn (O))
∠HIM = 2∠HEM (cùng chắn cung HM trên đường tròn (O))
Vậy ∠HIM = 2∠HEM.
Do đó, tam giác HIM đồng dạng với tam giác HEM.
Vậy HI/HE = HM/HE = IM/EM.
Mà HI/HE = HM/HE = IM/EM = 1 (vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEM).
Vậy ba điểm B, I, M thẳng hàng.