Để chứng minh OA vuông góc EF, ta sẽ sử dụng định lí về đường cao trong tam giác.

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Ta có:

- Vì AD là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc BC. Khi đó, ta có: AH là đường cao, nên AH cắt BC tại I (định nghĩa đường cao).
- Vì AD là đường cao, nên AH cắt (O) tại điểm M (định nghĩa đường cao).
- Vì AH cắt BC tại I, nên I nằm trên đường tròn (O) (định nghĩa đường cao).

Do đó, ta có: M là giao điểm của đường cao AD và đường tròn (O).

Tương tự, ta có: N là giao điểm của đường cao BE và đường tròn (O), P là giao điểm của đường cao CF và đường tròn (O).

Theo định lí về đường cao trong tam giác, ta có:

- AH ⊥ BC
- BH ⊥ AC
- CH ⊥ AB

Do đó, ta có:

- ∠BAC = ∠BHC = 90° (1)
- ∠ABC = ∠AHC = 90° (2)
- ∠ACB = ∠AHB = 90° (3)

Từ (1), (2), (3), ta suy ra tam giác ABC và tam giác HBC là hai tam giác vuông cân.

Vì tam giác ABC là tam giác nhọn nội tiếp (O), nên ta có:

- ∠BAC = ∠BCA = ∠BOC (4)

Từ (4), ta suy ra tam giác BOC là tam giác cân.

Vì tam giác BOC là tam giác cân, nên ta có:

- OB = OC (5)

Từ (5), ta suy ra đường thẳng OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vì đường thẳng OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC, nên ta có:

- OA ⊥ BC (6)

Từ (6) và định lí về đường cao trong tam giác, ta suy ra:

- OA ⊥ EF

Vậy ta đã chứng minh được rằng OA vuông góc EF.