Để chứng minh điều phát biểu trên, ta có thể sử dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông.

Gọi tam giác ABC có đường trung tuyến AM tương ứng với cạnh BC và AM = 1/2 BC.

Ta có AM là đường trung tuyến nên theo định lí đường trung tuyến trong tam giác, ta có AM = 1/2 (AB + AC).

Do đó, ta có 1/2 BC = 1/2 (AB + AC).

Tương đương với BC = AB + AC.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABC, ta có:

BC^2 = AB^2 + AC^2.

Thay BC = AB + AC vào công thức trên, ta được:

(AB + AC)^2 = AB^2 + AC^2.

Mở rộng và rút gọn, ta có:

AB^2 + 2AB*AC + AC^2 = AB^2 + AC^2.

Simplifying, we get:

2AB*AC = 0.

Vì AB và AC không thể bằng 0, nên ta có AB hoặc AC bằng 0. Điều này chỉ xảy ra khi tam giác ABC là tam giác vuông.

Vậy nên, nếu tam giác có đường trung tuyến tương ứng với một cạnh bằng một nửa cạnh đó, thì tam giác đó là tam giác vuông.