Cho tam giác ABC nhọn AB < AC, nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao AD; BE; CF. a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp. b) Gọi M là trung điểm BC. Tiếp tuyến tại B của O cắt OM tại T

Để giải quyết bài toán này, ta cần chứng minh hai ý sau:

Ý 1: Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh: Ta có góc BCF = góc BAC (do BCEF nội tiếp), góc BAC = góc BCA (do tam giác ABC nhọn), suy ra góc BCF = góc BCA. Tương tự, ta cũng có góc CBE = góc CAB. Do đó, tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp.

Ý 2: Góc MAT = góc TAD.
Chứng minh: Ta có góc MAT = góc MAB + góc BAT = góc CAD + góc BAC (do AB // CF) = góc CAD + góc BCA = góc CAD + góc BCF = góc CAD + góc BEF (do BCEF nội tiếp) = góc CAD + góc CEF = góc CAD + góc CAF = góc CAD + góc TAD = góc TAD.

Như vậy, hai ý trên đã được chứng minh.