Cho tam giác ABC vuông tại A và AB< BC, tia phân giác của góc B cắt AC tại D

Giải:

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A nên AB = AC. Do đó, tam giác ABH cũng vuông tại A nên AB = AH. Mà AB = AC nên AB = BH. Vậy ta đã chứng minh được AB = BH.

b) Ta có tam giác ABC vuông tại A nên tia phân giác của góc B chính là tia phân giác của góc A. Do đó, ta có AD là tia phân giác của góc A nên AD chia BC thành hai đoạn BC và CD. Vậy DC > AD.

c) Ta có hai tam giác AHD và ABI đồng dạng (cùng có góc vuông tại H và I, cùng có góc A), nên ta có AH/AB = AD/AI. Tương tự, ta có AH/AB = HD/IB. Từ đó suy ra AD/AI = HD/IB, hay BC = BI.

d) Ta có M là trung điểm của IC nên IM = MC. Ta có tam giác BIC và tam giác BHD đồng dạng (cùng có góc vuông tại I và H, cùng có góc B), nên ta có BI/BC = BH/BD. Tương tự, ta có BI/BC = IM/MD. Từ đó suy ra BH/BD = IM/MD, hay ba điểm B, D, M thẳng hàng.