Để chứng minh bài toán, ta sẽ thực hiện theo từng bước.

### Bước 1: Chứng minh \( \triangle ABM \cong \triangle ACM \)

1. **Định nghĩa các điểm**:
- Cho tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), tức là \( AB = AC \).
- Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \), do đó \( BM = MC \).

2. **Xét các cặp cạnh**:
- \( AB = AC \) (do \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \)),
- \( BM = MC \) (do \( M \) là trung điểm),
- \( AM = AM \) (cạnh chung).

3. **Áp dụng tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh (SSS)**:
Vì có hai cạnh tương ứng bằng nhau và cạnh chung, suy ra:
\[
\triangle ABM \cong \triangle ACM
\]

### Bước 2: Chứng minh \( AM \) là tia phân giác

Từ sự đồng nhất của hai tam giác \( ABM \) và \( ACM \), ta có các cặp chiều dài tương ứng sau:
- \( \frac{AB}{AC} = \frac{BM}{MC} \)

Bởi vì \( AB = AC \) và \( BM = MC \), theo định nghĩa tia phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = 1 \Rightarrow AM \text{ là tia phân giác của góc } \angle BAC.
\]

### Bước 3: Chứng minh \( HK \parallel BC \)

1. **Xét hai điểm**:
- Trên cạnh \( AB \), lấy điểm \( H \).
- Trên cạnh \( AC \), lấy điểm \( K \) sao cho \( AK = AH \).

2. **Xét các tam giác**:
- Do \( AK = AH \), ta có \( \triangle AHK \) là tam giác có hai cạnh \( AH \) và \( AK \) bằng nhau, nghĩa là \( AH = AK \).

3. **Áp dụng đồng dạng tam giác**:
- Nhờ vào tính chất của tam giác cân \( \triangle ABC \), ta có \( AM \) là tia phân giác và do đó:
\[
\frac{AH}{AK} = \frac{AB}{AC} = 1
\]
Từ tỉ lệ này, có thể khẳng định rằng các góc tương ứng \( \angle AHK \) và \( \angle AMC \) có tỉ lệ bằng nhau, từ đó chứng tỏ rằng:
\[
\angle AHK = \angle AMC
\]

### Kết luận

Do \( HK \) cắt kiếm \( AM \) tại \( A \) sao cho \( \angle AHK = \angle AMC \) và góc đồng vị, ta có:
\[
HK \parallel BC
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( HK \parallel BC \).