Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol(P): y=-2x​​​^2 và đường thẳng( d): y=ax+a-2

1. Để đường thẳng (d) cắt đoạn thẳng OH tại điểm H(0;3), ta thay x=0 vào phương trình của đường thẳng (d):
3=a*0+a-2
=> a=2

2. Ta có phương trình hệ số góc của đường thẳng (d) là a, và hệ số góc của parabol (P) là -4x. Để chứng minh rằng luôn tồn tại ít nhất một điểm chung giữa (P) và (d), ta chỉ cần chứng minh rằng tồn tại một giá trị x sao cho -4x=a. Điều này luôn đúng vì a là một số thực bất kỳ và ta luôn có thể chọn một giá trị x thích hợp để thỏa mãn điều kiện trên.

3. Để tìm tất cả các giá trị nguyên của a để (P) cắt (d) theo một dây cung có độ dài bằng √5, ta cần giải hệ phương trình:
-2x^2=ax+a-2
=> 2x^2+ax+a-2=0

Để (P) cắt (d) theo một dây cung có độ dài bằng √5, ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm cắt của (P) và (d) trên trục Ox, sau đó giải phương trình:
√(5)=|x_1-x_2|=|(-a+√(a^2+16))/4-(-a-√(a^2+16))/4|
=> √(5)=√(a^2+16)/2
=> 5=a^2+16
=> a^2= -11

Vậy không tồn tại giá trị nguyên của a để (P) cắt (d) theo một dây cung có độ dài bằng √5.