a) Ta có $\angle AOB = \angle ACB = 90^\circ$ nên tứ giác ABOC nội tiếp.

b) Ta có $\angle OEA = \angle OIA = 90^\circ$ nên tứ giác OEAI nội tiếp. Do đó, ta có $OF \cdot OA = OI \cdot OE$.

Vì $OI \cdot OE = R^2$ nên $OF \cdot OA = R^2$.

c) Ta có $S_{\triangle AKN} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AN \cdot \sin \angle KAN$.

Vì $\angle KAN$ là góc nội tiếp nên $\angle KAN = \angle KOC$.

Do đó, $S_{\triangle AKN}$ lớn nhất khi $\angle KOC$ lớn nhất, tức là khi $MN$ song song với $BC$.

Vậy cát tuyến $AMN$ cắt $BC$ tại điểm $I$ mới thì $S_{\triangle AKN}$ lớn nhất.