a) Ta có:
\(\angle CBI = 90^\circ\) (do AB vuông góc với CD)
\(\angle CHI = 90^\circ\) (do HI là hình chiếu vuông góc của H trên AB)
Do đó, tứ giác CBHI là tứ giác nội tiếp, từ đó suy ra C, B, I, H cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có:
\(\angle MCI = \angle HCI\) (do CI là đường phân giác của tam giác CHM)
\(\angle HMI = 90^\circ\) (do HI là hình chiếu vuông góc của H trên AB)
Do đó, tam giác HMI vuông cân tại M, từ đó suy ra CA là tia phân giác góc MCI.

c) Ta có:
\(\angle MCN = \angle ACB = 90^\circ\) (do AB vuông góc với CD)
\(\angle MNC = \angle MAC = \angle MCB\) (do BN=AM)
Do đó, tam giác MCN vuông cân tại C.

d) Ta có:
\(\angle PBM = \angle PAM = \angle PMA\) (do AP=PM)
\(\angle HMI = 90^\circ\) (do HI là hình chiếu vuông góc của H trên AB)
Do đó, tam giác HMI đồng dạng tam giác PBM.
Từ đó, ta có PB đi qua trung điểm của HI.