Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Phân giác góc BAC cắt đường tròn (O) ở M. Tiếp tuyến kẻ từ M với đường tròn cắt các tia AB và AC lần lượt ở D và E

a) Ta có:
\(\widehat{BCM} = \widehat{BAM} = \frac{1}{2}\widehat{BAC}\) (do BM là phân giác của góc BAC)
\(\widehat{CME} = \widehat{CME} = \frac{1}{2}\widehat{CBE}\) (do ME là phân giác của góc CBE)

Nhưng ta có: \(\widehat{CBE} = \widehat{CBA} = \widehat{CMA}\) (cùng chắn cung CE trên đường tròn (O))

Do đó: \(\widehat{BCM} = \widehat{CME}\) (cùng bằng nửa góc chung)

b) Ta có: \(\widehat{CME} = \widehat{CBE}\) (do ME là phân giác của góc CBE)

Nhưng ta có: \(\widehat{CBE} = \widehat{CBA} = \widehat{CMA}\) (cùng chắn cung CE trên đường tròn (O))

Do đó: \(\widehat{CME} = \widehat{CMA}\)

Từ hai tam giác vuông AMD và EMD, ta có:
\(\frac{AM^2}{ME^2} = \frac{AD}{ED} = \frac{AC}{CE}\) (vì tam giác AMD và EMD đồng dạng)

Vậy nếu AC = CE thì \(AM^2 = MD \cdot ME\)