Chứng minh rằng trong một tam giác độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng chu vi của tam giác nhưng nhỏ hơn

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức tam giác.

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh của tam giác. Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
a + b > c
b + c > a
c + a > b

Tổng ba bất đẳng thức trên, ta được:
2(a + b + c) > a + b + c

Do đó, chu vi của tam giác (a + b + c) sẽ lớn hơn hoặc bằng độ dài cạnh lớn nhất (max{a, b, c}).

Tuy nhiên, ta cũng biết rằng chu vi của tam giác sẽ nhỏ hơn tổng độ dài của ba cạnh, tức là:
a + b + c > 2 * max{a, b, c}

Vậy ta đã chứng minh được rằng trong một tam giác, độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng chu vi của tam giác nhưng nhỏ hơn.