Tính giá trị biểu thức x + y + z

Để giải bài toán này, ta có thể giải hệ phương trình sau:
\[
\begin{cases}
\frac{101}{x + y} + \frac{101}{y + z} + \frac{101}{z + x} = \frac{9x}{y + z} + \frac{9y}{z + x} + \frac{9z}{x + y} = \frac{909}{2022} \\
\frac{101}{x + y} = \frac{9x}{y + z} \\
\frac{101}{y + z} = \frac{9y}{z + x} \\
\frac{101}{z + x} = \frac{9z}{x + y}
\end{cases}
\]

Từ hệ phương trình trên, ta có thể suy ra:
\[
\begin{cases}
101(y + z) = 9x(x + y) \\
101(z + x) = 9y(y + z) \\
101(x + y) = 9z(z + x)
\end{cases}
\]

Từ 3 phương trình trên, ta có thể giải hệ phương trình và tìm ra giá trị của x, y, z. Sau đó, tính giá trị của biểu thức x + y + z.