Cho (O) đường kính BC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A khác B. Từ A kẻ các tiếp tuyến AD và AE (D và E là 2 tiếp điểm). Kẻ DH vuông góc EC tại H. Gọi P là trung điểm của DH, Q là giao điểm của CP với đường tròn tâm O (Q khác C)

Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các định lí sau:

1. Định lí hình học: Trong tam giác vuông, đường cao chia tam giác thành 2 tam giác vuông tương đồng.
2. Định lí hình học: Trong tam giác vuông, trung điểm của đoạn thẳng kề với góc vuông bằng với đỉnh của góc vuông và nằm trên đường cao của tam giác.

a. Ta có: $\angle ADE = \angle AEC$ (cùng nằm trên cùng một cạnh), $\angle DAE = \angle EAC$ (do DE // AC). Vậy tam giác ADE và tam giác AEC đồng dạng. Từ đó, ta có: $\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AE} \Rightarrow AE^2 = AB \cdot AC$.

b. Ta có: $\angle ADE = \angle AEC$ (cùng nằm trên cùng một cạnh), $\angle DAE = \angle EAC$ (do DE // AC). Vậy tam giác ADE và tam giác AEC đồng dạng. Từ đó, ta có: $\frac{AI}{AC} = \frac{AD}{AE} \Rightarrow AI \cdot AC = AB \cdot AC = AB \cdot AO$.

c. Ta có: $\angle DHP = 90^\circ$ (do DH vuông góc với EC), $\angle DCP = 90^\circ$ (do CP là đường phân giác của góc ADC). Vậy tứ giác DCHP là tứ giác nội tiếp. Từ đó, ta có: $\angle DQP = \angle DCP = \angle DHP = \angle DIP$. Vậy 4 điểm Q, D, P, I cùng thuộc đường tròn.

d. Ta có: $\angle AQE = \angle ADE = \angle AEC$ (cùng nằm trên cùng một cạnh), $\angle AQC = \angle AEC$ (do AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)). Vậy tam giác AQE và tam giác AEC đồng dạng. Từ đó, ta có: $\angle AQI = \angle AQE = \angle AEC = \angle AIC$. Vậy 4 điểm Q, I, E, A cùng thuộc đường tròn.

e. Ta có: $\angle QAC = \angle QEC$ (cùng nằm trên cùng một cạnh), $\angle QCA = \angle QEA$ (do AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)). Vậy tam giác QAC và tam giác QEA đồng dạng. Từ đó, ta có: $\angle AQE = \angle AEC = \angle ACQ$. Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ.

Như vậy, ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.