Để chứng minh các phương trình trên, ta sẽ sử dụng định lí phân giác trong tam giác và định lí Euclid.

a) Ta có:
$\angle MDA = \angle BDA$ (do tia phân giác của góc ADB cắt AD)
$\angle MAB = \angle DAB$ (cùng chính quy bằng $\angle MAD$)
Vậy tam giác MAD và tam giác MAB đồng dạng (cân đối)
$\Rightarrow \frac{MB}{MA} = \frac{DB}{DA}$

b) Tương tự như phần a), ta có tam giác NAD và tam giác NAC đồng dạng (cân đối)
$\Rightarrow \frac{NC}{NA} = \frac{DC}{DA}$

c) Ta có:
$\angle MAD = \angle NAC$ (do tia phân giác của góc ADC cắt AC)
$\angle MDA = \angle NDA$ (cùng chính quy bằng $\angle NAD$)
Vậy tam giác MAD và tam giác NAD đồng dạng (cân đối)
$\Rightarrow MN // BC$.

Vậy ta đã chứng minh được các phương trình cần chứng minh.