1) Ta có:
\(\angle MDN = \angle MAN\) (cùng chắn cung cung)
\(\angle MIN = \angle MAN\) (cùng chắn cung cung)
Do đó, tứ giác MDNI nội tiếp.

2) Ta có:
\(\angle EID = \angle MID\) (cùng chắn cung cung)
\(\angle EID = \angle MAD\) (cùng chắn cung cung)
Do đó, ba điểm C, E, K thẳng hàng.

Ta có:
\(\angle MEC = \angle MIN\) (cùng chắn cung cung)
\(\angle MEC = \angle MAN\) (cùng chắn cung cung)
\(\angle MEC = \angle MAC\) (cùng chắn cung cung)
Do đó, điểm D cách đều ba cạnh của tam giác EMN.

3) Gọi I là giao điểm của ME và NA. Ta cần chứng minh rằng I là một điểm cố định.

Ta có:
\(\angle MIN = \angle MAN\) (cùng chắn cung cung)
\(\angle MIN = \angle MIC\) (do IM // AN)
\(\angle MIC = \angle MAC\) (cùng chắn cung cung)
Do đó, ba điểm M, I, C thẳng hàng.

Vậy khi điểm M di chuyển trên cung AI, đường thẳng ME luôn đi qua một điểm cố định là I.