Để tìm đa thức \(Q(x)\) sao cho \(Q(x) \cdot P(x) = 2x^4 - \frac{1}{2}x^3 - 19x - 1\), ta phải chia đa thức \(2x^4 - \frac{1}{2}x^3 - 19x - 1\) cho \(P(x)\). Để làm điều này, chúng ta cần sử dụng thuật toán chia đa thức, như thuật toán chia đa thức của Euclid.

Tuy nhiên, vì một phương trình bậc 4 không thể chia cho một phương trình bậc 1, nên không có một đa thức \(Q(x)\) thỏa mãn điều kiện \(Q(x) \cdot P(x) = 2x^4 - \frac{1}{2}x^3 - 19x - 1\).