Cho x, y là các số nguyên dương. Chứng minh x^2 + y + 1 và y^2 + 4x + 3 không đồng thời là số chính phương

Giả sử cả hai số x^2 + y + 1 và y^2 + 4x + 3 đều là số chính phương. Ta có thể viết chúng dưới dạng:

x^2 + y + 1 = a^2 (1)
y^2 + 4x + 3 = b^2 (2)

Trong đó a và b là các số nguyên dương.

Từ phương trình (1), ta có:

y = a^2 - x^2 - 1
y = (a + x + 1)(a - x - 1)

Do đó, (a + x + 1) và (a - x - 1) là ước của y. Tương tự, từ phương trình (2), ta có:

x = (b^2 - y - 3)/4
x = (b + y + 3)(b - y - 3)/4

Do đó, (b + y + 3) và (b - y - 3) là ước của x.

Như vậy, x và y đều có số ước chung với a, b, điều này mâu thuẫn với việc x và y là số nguyên dương. Do đó, giả sử ban đầu là sai và x^2 + y + 1 và y^2 + 4x + 3 không đồng thời là số chính phương.