Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn x + 5y = 0

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x, y)\) thỏa mãn điều kiện \(x + 5y = 0\), trước tiên ta sẽ đưa hệ phương trình về dạng ma trận và áp dụng điều kiện có nghiệm duy nhất.

Hệ phương trình gồm hai phương trình:
1. \( x + (m-1) y = 2 \)
2. \( (m+1)x - y = m + 1 \)

Ta viết lại dưới dạng ma trận:
\[
\begin{pmatrix}
1 & m-1 \\
m+1 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 \\
m + 1
\end{pmatrix}
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác không. Tính định thức:
\[
D = 1 \cdot (-1) - (m-1)(m+1) = -1 - (m^2 - 1) = -m^2
\]

Để \( D \neq 0 \), ta có:
\[
-m^2 \neq 0 \implies m^2 \neq 0 \implies m \neq 0
\]

*Điều kiện thứ hai:* Để nghiệm thỏa mãn \( x + 5y = 0 \), ta có thể viết lại \( x \) theo \( y \):
\[
x = -5y
\]

Thay \( x = -5y \) vào hai phương trình của hệ:
1. Thay vào phương trình đầu tiên:
\[
-5y + (m-1)y = 2 \implies (-5 + m - 1)y = 2 \implies (m - 6)y = 2 \quad (1)
\]
2. Thay vào phương trình thứ hai:
\[
(m+1)(-5y) - y = m + 1 \implies -5(m + 1)y - y = m + 1
\]
\[
-(5m + 6)y = m + 1 \quad (2)
\]

Từ (1) và (2), ta sẽ giải hệ phương trình với \( y \):
Từ (1): \( y = \frac{2}{m - 6} \)

Thay vào (2):
\[
-(5m + 6)\left(\frac{2}{m - 6}\right) = m + 1
\]
\[
-\frac{10m + 12}{m - 6} = m + 1
\]

Nhân cả hai vế với \( (m - 6) \) (với điều kiện \( m \neq 6 \)):
\[
-10m - 12 = (m + 1)(m - 6)
\]
\[
-10m - 12 = m^2 - 5m - 6
\]
\[
0 = m^2 + 5m + 6 - 12 \implies m^2 + 5m - 6 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai:
\[
D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49
\]
\[
m = \frac{-5 \pm 7}{2}
\]
Có hai nghiệm:
\[
m_1 = 1 \quad \text{và} \quad m_2 = -6
\]

**Kết luận:**
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và thỏa mãn \( x + 5y = 0 \), \( m \) có thể nhận các giá trị \( m = 1 \) hoặc \( m = -6 \).