Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc đoạn thẳng BM. Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường thẳng AD tại H và I

a) Ta có tam giác ABC vuông cân tại A nên AM là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó, ta có AM = MC = 1/2 BC.
Vậy BM = 2MD.
Gọi O là giao điểm của BH và CI.
Ta có: BH ⊥ AD, CI ⊥ AD nên BH || CI.
Do đó, ta có: ∠BHO = ∠CHO.
Mà ∠BHO = 90° - ∠HBM = 90° - ∠ABM = ∠BAM và ∠CHO = 90° - ∠ICM = 90° - ∠ACM = ∠CAM.
Vậy ta có: ∠BAM = ∠CAM.
Nên tam giác AIM cũng là tam giác cân tại A.
Do đó, ta có: AI = AM = MC = 1/2 BC.
Vậy ta có: BH AI = BH / AI = BH / (1/2 BC) = 2BH / BC.
b) Ta có: ∠AIM = ∠AIC + ∠CIM = ∠AIC + ∠ACM = ∠AIC + ∠CAM = 90°.
Vậy góc AIM bằng 90°.

2) Ta có: AB² = AH² + BH² và AC² = AH² + CH².
Từ đó, ta có: AB² - AC² = BH² - CH².
Nhưng ta cũng có: BH² + CH² = BC².
Vậy: AB² - AC² = BC² - BC² = 0.
Nên ta có: AB = AC.