Gọi H là hình chiếu của M trên AC.

Ta có:
- Tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao của tam giác ABC.
- Ta có: AB = 12 cm, BC = 18 cm nên theo định lý Pythagore, ta có AC = √(AB^2 + BC^2) = √(12^2 + 18^2) = √(144 + 324) = √468 = 6√13 cm.
- Ta có: AM = 4 cm, AH = AC - CH = 6√13 - 4 cm.
- Ta có: MN // AC nên tam giác AMN ~ tam giác ACH (theo góc).
- Từ đó, ta có: MN/AC = AM/AH => MN/(6√13) = 4/(6√13 - 4) => MN = 4(6√13)/(6√13 - 4) = 24√13/(6√13 - 4) = 4√13/(√13 - 1) = 4(√13 + 1) cm.

Vậy độ dài MN là 4(√13 + 1) cm.