Để chứng minh rằng \( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} < 1 \) với \( n \in \mathbb{N}^* \), ta sẽ sử dụng quy nạp.

Đặt \( S_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} \).

Ta sẽ chứng minh rằng \( S_n < 1 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \) bằng cách chứng minh \( S_{n+1} < 1 \) khi biết \( S_n < 1 \).

Ta có:
\[ S_{n+1} = S_n + \frac{1}{(n+1)(n+2)} < 1 + \frac{1}{(n+1)(n+2)} \]

Để chứng minh \( S_{n+1} < 1 \), ta cần chứng minh rằng:
\[ 1 + \frac{1}{(n+1)(n+2)} < 1 \]
\[ \frac{1}{(n+1)(n+2)} < 0 \]

Điều này là đúng vì \( n \in \mathbb{N}^* \), nên \( (n+1)(n+2) > 0 \) và \( \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0 \).

Vậy nên, ta đã chứng minh được rằng \( S_{n+1} < 1 \) khi biết \( S_n < 1 \).

Do đó, ta kết luận rằng \( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} < 1 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \).