a) Ta có:
$\angle OMA = \angle OMB = 90^{\circ}$ (do MA, MB là tiếp tuyến của đường tròn (O))
$\Rightarrow$ Tứ giác MAOB nội tiếp.
$\angle MOI = 90^{\circ}$ (do OI là đường cao của tam giác OAB)
$\Rightarrow$ MO vuông góc với AB tại I.

b) Ta có:
$\angle MCD = \angle MOA$ (cùng chắn cung MD trên đường tròn (O))
$\angle MCD = \angle MAB$ (do MC, MD là tiếp tuyến của đường tròn (O))
$\Rightarrow \triangle MCD \sim \triangle MOA$
$\Rightarrow \frac{MC}{MO} = \frac{MD}{MA}$
$\Rightarrow MC \cdot MD = MI \cdot MO$

c) Ta có:
CH // AD (do CH và AD cùng vuông góc với AB)
$\Rightarrow \frac{AM}{AH} = \frac{AD}{AC}$
$\Rightarrow AH = \frac{AM \cdot AC}{AD}$
$\Rightarrow AK = AB - BK = AB - AH = AB - \frac{AM \cdot AC}{AD} = \frac{AB \cdot AD - AM \cdot AC}{AD} = \frac{BD \cdot AD - MD \cdot MC}{AD} = \frac{MD \cdot DC}{AD}$
$\Rightarrow \frac{AH}{AK} = \frac{AM \cdot AC}{AD} : \frac{MD \cdot DC}{AD} = \frac{AM \cdot AC}{MD \cdot DC} = \frac{AC}{MC}$
$\Rightarrow CH = HK$
$\Rightarrow C$ là trung điểm của $HK$.

Vậy ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.