a) Ta có:
$\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$ (do $MA, MB$ là tiếp tuyến của đường tròn)
$\Rightarrow$ Tứ giác $MAOB$ nội tiếp.
$\angle MOI = 90^\circ$ (do $OM$ là đường cao của tam giác $OAB$)
$\Rightarrow$ $MO$ vuông góc với $AB$ tại $I$.

b) Ta có:
$\angle MCD = \angle MAB$ (cùng nằm trên cùng cung $MA$)
$\angle MDC = \angle MBC$ (cùng nằm trên cùng cung $MB$)
$\Rightarrow$ $\triangle MCD \sim \triangle MAB$
$\Rightarrow \frac{MC}{MA} = \frac{MD}{MB}$
$\Rightarrow MC \cdot MD = MA \cdot MB = MI \cdot MO$ (do $MAOB$ nội tiếp và $MI \cdot MO = MA \cdot MB$)

c) Ta có:
$CH \parallel AD$ và $HK \parallel AD$
$\Rightarrow \frac{CH}{CA} = \frac{MH}{MA}$ và $\frac{HK}{AB} = \frac{MH}{MA}$
$\Rightarrow \frac{CH}{CA} = \frac{HK}{AB}$
$\Rightarrow C$ là trung điểm của $HK$.

Vậy ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.