1, Ta có:
\(\angle BMP = 90^{\circ}\) (do AB vuông góc với PM)
\(\angle BNP = 90^{\circ}\) (do BC vuông góc với PN)
Do đó, 4 điểm B, M, P, N cùng thuộc một đường tròn.

2, Ta có:
\(\angle NFP = \angle NBP\) (cùng chắn cung NP trên cùng đường tròn)
\(\angle NBP = \angle MAP\) (do AB vuông góc với PM)
\(\angle MAP = \angle FAP\) (cùng chắn cung AP trên cùng đường tròn)
Do đó, F là trung điểm của AD.

3a, Ta có:
\(\angle EOP = 90^{\circ}\) (do EO vuông góc với OP)
\(\angle EOB = 90^{\circ}\) (do EO là đường phân giác của góc BEO)
Do đó, O, P, E thẳng hàng và BD = 2EO.

3b, Giả sử AB.AD đạt giá trị lớn nhất. Khi đó, F là trung điểm của AD và F là trung điểm của AC.
Do đó, theo bài toán trên, ta có O, P, E thẳng hàng.