1. Ta có $\angle{SAO} = 90^\circ$ (do $OA$ là bán kính của đường tròn $(O)$) và $\angle{SOI} = 90^\circ$ (do $OI$ vuông góc với $BC$ tại $I$). Do đó tứ giác $SAOI$ là tứ giác nội tiếp trong đường tròn $(O)$.

2. Ta có $\angle{OAH} = \angle{OAS} = \angle{OIS} = \angle{IAD}$ (do tứ giác $SAOI$ nội tiếp), suy ra $\angle{OAH} = \angle{IAD}$.

3. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Ta có $Q$ là trung điểm của $BE$ nên $Q$ là trung điểm của $AM$. Do đó $Q$ là trung điểm của $AH$. Khi đó, ta có $QD \parallel AM \Rightarrow QD \parallel AH$.

Gọi $N$ là giao điểm của $CK$ và $AH$. Ta có $CK \parallel QD \Rightarrow \triangle{CKN} \sim \triangle{QDN}$. Do đó $\frac{BQ}{BD} = \frac{CK}{CN} = \frac{CK}{AH}$.

Mặt khác, ta có $\triangle{BIA} \sim \triangle{BDC}$ nên $\frac{BI}{BD} = \frac{BA}{BC}$.

Kết hợp hai công thức trên, ta có $BQ \cdot BA = BD \cdot BI$. Điều phải chứng minh.

Vậy ta đã chứng minh được cả ba phần đề bài.