Gọi đa thức cần tìm là f(x) = ax^2 + bx + c.

Theo đề bài, khi chia f(x) cho x - 1 thì dư là 3, ta có:
f(1) = a*1^2 + b*1 + c = 3
a + b + c = 3

Khi chia f(x) cho x - 2 thì dư là 5, ta có:
f(2) = a*2^2 + b*2 + c = 5
4a + 2b + c = 5

Khi chia f(x) cho (x - 1)(x - 2) thì được thương là 2x và còn dư, ta có:
f(x) = (x - 1)(x - 2) * 2 + dx + e
f(x) = 2x^2 - 3x + 2 + dx + e
ax^2 + bx + c = 2x^2 - 3x + 2 + dx + e
(a - 2)x^2 + (b + 3 - d)x + (c - 2) = 0

So sánh hệ số của hai đa thức ta được:
a - 2 = 0 => a = 2
b + 3 - d = 0 => d = b + 3
c - 2 = 0 => c = 2

Thay a = 2, c = 2 vào phương trình f(1) = 3 ta có:
2 + b + 2 = 3
b = -1

Thay a = 2, c = 2 vào phương trình f(2) = 5 ta có:
8 - 2 + 2 = 5
b = -1

Vậy đa thức cần tìm là f(x) = 2x^2 - x + 2.