a) Ta có AM = MN (do M là trung điểm của AN) và AH = HB (do ∆ABC cân tại A và đường cao AH).
Ngoài ra, ta có góc AMH = góc NMB (do AM // NB và AH ⊥ BC).
Do đó, theo định lí cạnh-góc-cạnh, ta có tam giác AMH = tam giác NMB.

b) Ta có BN = 2BM (do M là trung điểm của BH).
Do đó, BN < BA.

c) Ta có góc BAM = góc MAH (do AM // NH và AH ⊥ BC).
Vậy, BAM < MAH.

d) Ta có NC = 2CI (do I là trung điểm của NC).
Vì M là trung điểm của AN nên ta có AM = MN = NI.
Do đó, tam giác ANI cũng là tam giác cân tại A.
Vậy, góc ANI = góc NAI.
Nhưng góc NAI = góc HAM (do AM // NH và AH ⊥ BC).
Vậy, góc ANI = góc HAM.
Nhưng góc ANI = góc NCI (do tam giác ANI cân tại A).
Vậy, góc NCI = góc HAM.
Nhưng góc NCI = góc HCI (do tam giác NCI cân tại N).
Vậy, góc HCI = góc HAM.
Nhưng góc HCI = góc HAI (do AI // BC và CI là trung điểm của NC).
Vậy, góc HAI = góc HAM.
Vậy, A, H, I thẳng hàng.