Để tìm số tự nhiên a nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên, ta sẽ sử dụng định lý dư sau:

Nếu a chia hết cho một số nào đó dư m, thì a cũng chia hết cho bội của số đó dư m.

Ta có các điều kiện sau:
- a chia cho 2 dư 1: a = 2k + 1
- a chia cho 3 dư 1: a = 3m + 1
- a chia cho 5 dư 4: a = 5n + 4
- a chia cho 7 dư 3: a = 7p + 3

Ta sẽ sử dụng định lý dư để giải hệ phương trình trên:
- Từ a = 2k + 1 và a = 3m + 1, ta có 2k + 1 = 3m + 1 => 2k = 3m => k = 3m/2
- Từ a = 2k + 1 và a = 5n + 4, ta có 2k + 1 = 5n + 4 => 2k = 5n + 3 => 3m = 5n + 3 => n = (3m - 3)/5 = 3m/5 - 3/5
- Từ a = 2k + 1 và a = 7p + 3, ta có 2k + 1 = 7p + 3 => 2k = 7p + 2 => 3m = 7p + 2 => p = (3m - 2)/7 = 3m/7 - 2/7

Ta sẽ tìm số tự nhiên m sao cho n và p cũng là số tự nhiên:
- m = 5, khi đó n = 3*5/5 - 3/5 = 3 - 3/5 = 2.4 (không phải số tự nhiên)
- m = 10, khi đó n = 3*10/5 - 3/5 = 6 - 3/5 = 5.4 (không phải số tự nhiên)
- m = 15, khi đó n = 3*15/5 - 3/5 = 9 - 3/5 = 8.4 (không phải số tự nhiên)
- m = 20, khi đó n = 3*20/5 - 3/5 = 12 - 3/5 = 11.4 (không phải số tự nhiên)
- m = 25, khi đó n = 3*25/5 - 3/5 = 15 - 3/5 = 14.4 (không phải số tự nhiên)
- m = 30, khi đó n = 3*30/5 - 3/5 = 18 - 3/5 = 17.4 (không phải số tự nhiên)
- m = 35, khi đó n = 3*35/5 - 3/5 = 21 - 3/5 = 20.4 (không phải số tự nhiên)
- m = 40, khi đó n = 3*40/5 - 3/5 = 24 - 3/5 = 23.4 (không phải số tự nhiên)
- m = 45, khi đó n = 3*45/5 - 3/5 = 27 - 3/5 = 26.4 (không phải số tự nhiên)
- m = 50, khi đó n = 3*50/5 - 3/5 = 30 - 3/5 = 29.4 (không phải số tự nhiên)

Vậy số tự nhiên a nhỏ nhất thỏa mãn là a = 3*25 + 1 = 76.