Giả sử a, b, c, d là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện a^2 + b^2 = c^2 + d^2. Ta có thể chia ra làm 2 trường hợp:

Trường hợp 1: a = c và b = d
Khi đó, a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 2a^2
=> a^2 = b^2
=> a = b
Do đó, a + b + c + d = 2a + 2b = 4a (hoặc 4b)
Vì a là số nguyên dương, nên a + b + c + d là số chẵn, không phải là số nguyên tố.

Trường hợp 2: a ≠ c hoặc b ≠ d
Khi đó, a^2 + b^2 = c^2 + d^2
=> a^2 - c^2 = d^2 - b^2
=> (a + c)(a - c) = (d + b)(d - b)
Vì a, b, c, d là số nguyên dương, nên ta có 2 trường hợp:
- a + c = d + b và a - c = d - b
- a + c = d - b và a - c = d + b

Xét trường hợp đầu tiên: a + c = d + b và a - c = d - b
=> a + b + c + d = 2d
Vì d là số nguyên dương, nên a + b + c + d là số chẵn, không phải là số nguyên tố.

Xét trường hợp thứ hai: a + c = d - b và a - c = d + b
=> a + b + c + d = 2a
Vì a là số nguyên dương, nên a + b + c + d là số chẵn, không phải là số nguyên tố.

Vậy, không có trường hợp nào khiến a + b + c + d là số nguyên tố.