Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), kẻ đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại O

a) Ta có AH vuông góc với BC (do tam giác ABC vuông tại A), nên ta có DE // BC.
Gọi M là trung điểm của BC, ta cần chứng minh O trùng với M.
Kẻ DM, EM, ta có:
- AD // HC (do DE // BC và AH vuông góc với BC)
- AE // HB (do DE // BC và AH vuông góc với BC)
=> Tam giác ADE và tam giác HBC đồng dạng.
=> AH/HC = AD/DE và AH/HB = AE/DE
=> (AH/HC) * (AH/HB) = (AD/DE) * (AE/DE)
=> (AH^2)/(HC*HB) = AD*AE/(DE)^2
=> (AH^2)/(HC*HB) = AM^2/(MC*MB) (do AM = MC và AM = MB)
=> AH^2 = HC*HB
=> O trùng với M, tức là O là trung điểm của BC.

b) Ta có AD vuông góc với AO, nên tam giác ADO vuông tại D.
Kẻ DK vuông góc với BC, ta cần chứng minh BK/BH = CK/CH.
Áp dụng định lí Thales trong tam giác ADO ta có:
BK/BH = DK/AH
Áp dụng định lí Thales trong tam giác AEO ta có:
CK/CH = EK/AH
Ta cần chứng minh DK = EK.
Ta có:
- DK = DM - MK
- EK = EM - MK
Vậy ta cần chứng minh DM = EM.
Ta có tam giác ADE đồng dạng với tam giác HBC (đã chứng minh ở câu a)).
=> DM = EM
Vậy DK = EK, từ đó suy ra BK/BH = CK/CH.

c) Ta có AH vuông góc với BC, nên ta có:
AH^2 = AD*AE
Vì tam giác ADE đồng dạng với tam giác HBC (đã chứng minh ở câu a)), nên ta có:
AD*AE = HC*HB
Vậy AH^2 = HB*HC.