Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC, hai đường cao BD và CE. Chứng minh AB.AE = AC.AD

Để chứng minh câu c, ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras và định lý hình học.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên BC. Ta có:
- BD là đường cao của tam giác ABC nên tam giác ABD vuông tại B.
- CE là đường cao của tam giác ABC nên tam giác ACD vuông tại C.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABD và tam giác ACD, ta có:
- BD² = AB² - AD²
- DC² = AC² - AD²

Kẻ đường thẳng AH, ta có tam giác AHD vuông tại H. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AHD, ta có:
- AH² = AD² + HD²

Từ đây suy ra:
- HD = BD.cos(A)
- AH = BD.sin(A)
- AC = AH + HC = BD.sin(A) + DC

Suy ra:
- DC = AC - BD.sin(A)

Thay vào công thức DC² = AC² - AD², ta được:
- DC² = (BD.sin(A) + DC)² - AD²
- DC² = BD².sin²(A) + 2.BD.DC.sin(A) + DC² - AD²

Tương tự, ta có:
- BD² = AB² - AD²
- BD² = AC² - DC²

Thay vào công thức BD² = AB² - AD², ta được:
- BD² = AC² - DC²
- BD² = AC² - (BD².sin²(A) + 2.BD.DC.sin(A) + DC² - AD²)
- BD² = AC² - BD².sin²(A) - 2.BD.DC.sin(A) - DC² + AD²

Từ hai công thức trên, ta có:
- BD² + DC² = AC² - BD².sin²(A) - 2.BD.DC.sin(A) - DC² + AD² + BD².sin²(A) + 2.BD.DC.sin(A) + DC² - AD²
- BD² + DC² = AC²

Gọi O là trung điểm của BC, ta có:
- OI = ID = IE = OC = OB = 0.5.BC

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OIB, ta có:
- OI² = OB² + BI²
- OI² = 0.25.BC² + BI²
- OI² = 0.25.BC² + 0.25.BC²
- OI² = 0.5.BC²

Từ đây suy ra:
- 4.OI² = 2.BC²

Kết hợp với kết quả BD² + DC² = AC², ta có:
- BD² + DC² = 4.OI²

Vậy ta đã chứng minh được rằng BD² + DC² = 4.OI².