Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng nguyên lý Dirichlet về phân phối màu trên các điểm.

Giả sử rằng không tồn tại tam giác như vậy. Ta xem xét mỗi cặp điểm và màu của đoạn thẳng nối chúng. Với mỗi cặp điểm, ta có 6 cách chọn màu (4 cách chọn màu cho điểm và 2 cách chọn màu cho đoạn thẳng nối chúng). Vì không tồn tại tam giác có ba đỉnh và ba cạnh cùng màu, nên với mỗi cặp điểm, ta sẽ có ít nhất 5 cách chọn màu.

Số cách chọn màu cho tất cả các cặp điểm là 21 * 5 = 105. Tuy nhiên, số cách chọn màu tối đa là 6 * 21 = 126. Do đó, theo nguyên lý Dirichlet, luôn tồn tại ít nhất một tam giác có ba đỉnh và ba cạnh cùng màu. Điều này chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác như vậy trên đường tròn đã cho.