a) Ta có tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao và cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, ta có AM = MC và ∠AMB = ∠AMC = 90°.

Vậy tam giác AHB và tam giác AHC có:
- ∠AHB = 90° - ∠AMB = 90° - ∠AMC = ∠AHC (vì AH là đường cao)
- AH = AH (chung)
- AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A)

Vậy tam giác AHB = tam giác AHC (theo trường hợp góc - cạnh - góc).

b) Ta có M là trung điểm của AH nên AM = MH. Vì MB = MN nên tam giác MNB cũng là tam giác cân tại N. Do đó, ta có MN = NB và ∠MNB = ∠MNB = 90°.

Gọi I là giao điểm của CN và AM. Ta có AI cắt BC tại I nên ta cần chứng minh CI song song với AB.

Ta có:
- CI = 2/3CM
- AM = MC
- AI cắt BC tại I

Vậy ta có tam giác AIC đồng dạng với tam giác MCB theo định lí đồng dạng nên CI song song với AB.

Vậy ba điểm N, I, H thẳng hàng.

c) Ta có:
AH + BN = AM + MH + MN = AM + MN + MB = AB + 2/3CM + MB > 2AB (vì AM = MC và MB = MN)

Vậy AH + BN > 2AB.