I). Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp:
Ta có tiếp tuyến AB và AC của đường tròn (O; R) tại các điểm B và C.
Vì AB và AC là tiếp tuyến nên góc AOB và góc AOC là góc vuông (góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp điểm là góc vuông).
Do đó, tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp với đường tròn (O; R).

2) Chứng minh: AM.AN = AC:
Gọi D là giao điểm của tiếp tuyến AMN với AC.
Vì AMN và ABC đồng dạng (cùng tiếp tuyến và có các cặp góc tương đương), ta có:
AM/AB = AN/AC (do đồng dạng)
=> AM/AN = AB/AC
Vì AB = AC (vì tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp), ta có:
AM/AN = 1
=> AM = AN
=> AM.AN = AN.AN = AC

3) Tứ giác MHON nội tiếp và FM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R):
Gọi G là giao điểm của MN và AO.
Vì tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp, nên góc BOC là góc vuông.
Do đó, góc BOC = 90°.
Từ đó, ta có: góc B - góc BOC = 180° - 90° = 90°.
Vì góc BON là góc nhọn, nên tứ giác MHON nội tiếp.

Từ việc tứ giác MHON nội tiếp, ta có:
góc MHN = góc MON (cùng nằm trên cung MO)
góc MNO = góc MHO (cùng nằm trên cung MH)
Vì góc MHN và góc MHO là hai góc đồng nhất, nên đường thẳng FM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

4) Ba điểm P, E, O thẳng hàng:
Theo định lý Pappus, ta biết rằng nếu ta kết nối các điểm MN ∩ BC, MO ∩ NC và ON ∩ MB thì ba điểm giao nhau này sẽ thẳng hàng.
Vậy, ba điểm P, E, O thẳng hàng