Để tìm điểm M thỏa mãn điều kiện góc AMB = 45°, ta cần tìm vector AB và vector BC, sau đó tìm vector AM và vector MB.

Vector AB:
AB = B - A = (2-3, 1-4) = (-1, -3)

Vector BC:
BC = C - B = (-1-2, -2-1) = (-3, -3)

Ta có:
cos(45°) = AB.BC / ||AB||.||BC||
=> 1/√2 = (-1*(-3) + (-3)*(-3)) / (√10 * √18)
=> 1/√2 = 12 / √180
=> √180 = 12√2
=> 180 = 144*2
=> 180 = 12^2 * 2

Vậy ta có ||AB|| = √10 và ||BC|| = √18

Đặt M(x, y) là tọa độ của điểm M, ta có:
Vector AM = M - A = (x-3, y-4)
Vector MB = B - M = (2-x, 1-y)

Góc AMB = 45° nên ta có:
cos(45°) = AM.MB / ||AM||.||MB||
=> 1/√2 = (x-3)(2-x) + (y-4)(1-y) / (√(x^2 + (y-4)^2) * √((2-x)^2 + (1-y)^2))
=> 1/√2 = 2x - x^2 - 6 + 3 + y - y^2 - 4 + y / √(x^2 + (y-4)^2) * √((2-x)^2 + (1-y)^2)
=> 1/√2 = 2x - x^2 + y - y^2 - 7 / √(x^2 + (y-4)^2) * √((2-x)^2 + (1-y)^2)

Từ hai phương trình trên, ta có thể giải hệ phương trình để tìm tọa độ của điểm M.