Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán.

### Phần 1: Chứng minh tứ giác IHCD nội tiếp

Để chứng minh tứ giác \(IHCD\) nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng của hai góc đối diện trong tứ giác này bằng \(180^\circ\).

1. **Góc \(IHC\)**:
- Ta có \(AH \perp BC\) nên \( \angle AHB = 90^\circ \).
- Do \(H\) thuộc \(BC\), \(H\) là trung điểm của \(BC\) (vì \(AH\) là đường cao từ \(A\) đến \(BC\) trong tam giác vuông \(ABC\)).
- Do đó, \(H\) là trung điểm của đường kính \(BC\), nên \(H\) là điểm chính giữa của đường tròn.
- Góc \( \angle IHC = \angle AHB = 90^\circ \).

2. **Góc \(IDC\)**:
- Xét tam giác \(BDC\), ta có \(D\) nằm trên cung nhỏ \(AC\) của đường tròn đường kính \(BC\).
- Do đó, \( \angle BDC \) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, nên \( \angle BDC = 90^\circ \).

Vì \( \angle IHC = 90^\circ \) và \( \angle IDC = 90^\circ \), ta có:
\[ \angle IHC + \angle IDC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]

Do đó, tứ giác \(IHCD\) nội tiếp.

### Phần 2: Chứng minh rằng \(AB = BLBD\)

Để chứng minh \(AB = BLBD\), ta cần chứng minh rằng \(AB\) bằng độ dài của đoạn thẳng \(BLBD\).

1. **Xét tam giác \(ABC\)**:
- \(BC\) là đường kính của đường tròn, do đó \( \angle BAC = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

2. **Xét tam giác \(ABD\)**:
- Ta có \( \angle AHB = 90^\circ \) (do \(AH \perp BC\)).
- Điểm \(D\) nằm trên cung nhỏ \(AC\), do đó \( \angle BDC = 90^\circ \).

3. **Chứng minh \(AB = BLBD\)**:
- Ta biết rằng \( \angle BAC = 90^\circ \) và \( \angle BDC = 90^\circ \).
- Do đó, tam giác \(ABD\) là tam giác vuông tại \(B\).
- Trong tam giác vuông \(ABD\), \(AB\) là cạnh huyền, và \(BD\) là một cạnh góc vuông.

Tuy nhiên, để chứng minh \(AB = BLBD\), ta cần thêm thông tin hoặc một cách tiếp cận khác. Có thể có một lỗi trong đề bài hoặc cần thêm thông tin để chứng minh điều này.

Vì vậy, phần này có thể cần xem xét lại hoặc cần thêm thông tin để hoàn thành chứng minh.