Để giải phương trình \((\sqrt{x} + 5 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x^2 + 5x}) = 5\), ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Đơn giản hóa biểu thức trong dấu ngoặc:**

\[
\sqrt{x} + 5 - \sqrt{x} = 5
\]

Do đó, phương trình trở thành:

\[
5(1 + \sqrt{x^2 + 5x}) = 5
\]

2. **Chia cả hai vế của phương trình cho 5:**

\[
1 + \sqrt{x^2 + 5x} = 1
\]

3. **Trừ 1 từ cả hai vế của phương trình:**

\[
\sqrt{x^2 + 5x} = 0
\]

4. **Bình phương cả hai vế của phương trình để loại bỏ căn bậc hai:**

\[
x^2 + 5x = 0
\]

5. **Giải phương trình bậc hai:**

\[
x(x + 5) = 0
\]

Phương trình này có hai nghiệm:

\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5
\]

6. **Kiểm tra các nghiệm trong phương trình gốc:**

- Với \(x = 0\):

\[
(\sqrt{0} + 5 - \sqrt{0})(1 + \sqrt{0^2 + 5 \cdot 0}) = 5 \cdot 1 = 5
\]

Nghiệm này thỏa mãn phương trình gốc.

- Với \(x = -5\):

\[
(\sqrt{-5} + 5 - \sqrt{-5})(1 + \sqrt{(-5)^2 + 5 \cdot (-5)})
\]

Tuy nhiên, \(\sqrt{-5}\) không phải là số thực, do đó nghiệm này không hợp lệ trong tập số thực.

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình trong tập số thực là:

\[
x = 0
\]