Để giải bài toán này, ta sẽ đặt hai số cần tìm là \( x \) và \( y \), trong đó \( x \) là số lớn và \( y \) là số bé. Theo đề bài, ta có các thông tin sau:

1. Hiệu của hai số là 80:
\[ x - y = 80 \]

2. Nếu thêm vào số lớn 4 đơn vị và thêm vào số bé 14 đơn vị thì được hai số có tỉ số là \(\frac{2}{7}\):
\[ \frac{x + 4}{y + 14} = \frac{2}{7} \]

Từ phương trình thứ hai, ta có thể viết lại dưới dạng:
\[ 7(x + 4) = 2(y + 14) \]

Giải phương trình này:
\[ 7x + 28 = 2y + 28 \]
\[ 7x + 28 = 2y + 28 \]
\[ 7x = 2y + 28 - 28 \]
\[ 7x = 2y + 28 \]
\[ 7x - 2y = 28 \]

Bây giờ, ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
x - y = 80 \\
7x - 2y = 28
\end{cases} \]

Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Trước tiên, ta nhân phương trình thứ nhất với 2 để dễ dàng loại bỏ \( y \):
\[ 2(x - y) = 2 \cdot 80 \]
\[ 2x - 2y = 160 \]

Bây giờ, ta có hệ phương trình mới:
\[ \begin{cases}
2x - 2y = 160 \\
7x - 2y = 28
\end{cases} \]

Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất:
\[ (7x - 2y) - (2x - 2y) = 28 - 160 \]
\[ 5x = -132 \]
\[ x = -\frac{132}{5} \]

Có vẻ như đã có sai sót trong quá trình giải. Hãy kiểm tra lại các bước.

Thay vì tiếp tục với phương pháp này, hãy thử lại từ đầu với cách khác.

Từ phương trình \( x - y = 80 \), ta có:
\[ x = y + 80 \]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[ 7(y + 80 + 4) = 2(y + 14) \]
\[ 7(y + 84) = 2(y + 14) \]
\[ 7y + 588 = 2y + 28 \]
\[ 7y - 2y = 28 - 588 \]
\[ 5y = -560 \]
\[ y = -112 \]

Thay \( y = -112 \) vào phương trình \( x = y + 80 \):
\[ x = -112 + 80 \]
\[ x = -32 \]

Vậy hai số là \( x = -32 \) và \( y = -112 \).

Tổng của hai số đó là:
\[ x + y = -32 + (-112) = -144 \]

Tổng của hai số đó là: \(-144\).