Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán này.

### 1. Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp

Để chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng hai góc đối nhau của tứ giác này bằng 180°.

Xét tam giác ABC nhọn, kẻ hai đường cao BE và CD. Ta có:
- BE ⊥ AC tại E
- CD ⊥ AB tại D

Do đó, góc BEC và góc BDC đều là góc vuông (90°).

Xét tứ giác BDEC, ta có:
- Góc BEC = 90°
- Góc BDC = 90°

Tổng hai góc này là:
\[ \angle BEC + \angle BDC = 90° + 90° = 180° \]

Vì tổng hai góc đối nhau của tứ giác BDEC bằng 180°, nên tứ giác BDEC nội tiếp.

### 2. Chứng minh AD.AB = AE.AC

Xét tam giác ABC với hai đường cao BE và CD. Ta có:
- BE ⊥ AC tại E
- CD ⊥ AB tại D

Xét hai tam giác vuông ADE và ABE, ta có:
- Góc ADE = góc ABE = 90°
- Góc A là góc chung

Do đó, hai tam giác ADE và ABE đồng dạng với nhau theo trường hợp góc-góc (AA).

Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[ \frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC} \]

Suy ra:
\[ AD \cdot AC = AE \cdot AB \]

### 3. Tính diện tích hình giới hạn bởi dây DE và cung nhỏ DE của đường tròn tâm N

Cho BC = 12 cm và góc BAC = 30°. Gọi N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDEC.

Trước hết, ta cần tính bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Sử dụng công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:
\[ R = \frac{a}{2 \sin A} \]

Với \( a = BC = 12 \) cm và \( A = \angle BAC = 30° \), ta có:
\[ R = \frac{12}{2 \sin 30°} = \frac{12}{2 \cdot 0.5} = 12 \text{ cm} \]

Do tứ giác BDEC nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác này cũng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức là N.

Để tính diện tích hình giới hạn bởi dây DE và cung nhỏ DE của đường tròn tâm N, ta cần biết độ dài cung DE và dây DE.

Tứ giác BDEC nội tiếp nên góc BEC và góc BDC đều là góc vuông. Do đó, cung DE là cung 90° của đường tròn bán kính 12 cm.

Diện tích hình quạt tròn tạo bởi cung DE là:
\[ S_{\text{quạt}} = \frac{\theta}{360°} \cdot \pi R^2 \]
Với \( \theta = 90° \) và \( R = 12 \) cm, ta có:
\[ S_{\text{quạt}} = \frac{90°}{360°} \cdot \pi \cdot 12^2 = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 144 = 36\pi \text{ cm}^2 \]

Diện tích tam giác vuông BEC là:
\[ S_{\text{tam giác}} = \frac{1}{2} \cdot BE \cdot EC \]
Vì BE và EC đều là đường cao của tam giác ABC, nên:
\[ BE = EC = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm} \]
Do đó:
\[ S_{\text{tam giác}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \text{ cm}^2 \]

Diện tích hình giới hạn bởi dây DE và cung nhỏ DE là:
\[ S_{\text{hình}} = S_{\text{quạt}} - S_{\text{tam giác}} = 36\pi - 18 \text{ cm}^2 \]

Vậy diện tích hình giới hạn bởi dây DE và cung nhỏ DE của đường tròn tâm N là \( 36\pi - 18 \text{ cm}^2 \).