Để chứng minh rằng không tồn tại các số thực \( x, y, z \) thỏa mãn phương trình \( x^2 + 5y^2 + 2x - 4xy - 10y + 14 = 0 \), ta sẽ xem xét phương trình này và cố gắng đưa nó về dạng dễ phân tích hơn.

Bắt đầu từ phương trình:
\[ x^2 + 5y^2 + 2x - 4xy - 10y + 14 = 0 \]

Ta sẽ nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \) lại với nhau:
\[ x^2 + 2x - 4xy + 5y^2 - 10y + 14 = 0 \]

Bây giờ, ta sẽ hoàn thành bình phương cho các hạng tử chứa \( x \) và \( y \).

1. Xét các hạng tử chứa \( x \):
\[ x^2 + 2x - 4xy \]

Ta có thể viết lại như sau:
\[ x^2 + 2x - 4xy = (x - 2y)^2 - 4y^2 \]

2. Xét các hạng tử chứa \( y \):
\[ 5y^2 - 10y \]

Ta có thể viết lại như sau:
\[ 5y^2 - 10y = 5(y^2 - 2y) = 5((y - 1)^2 - 1) = 5(y - 1)^2 - 5 \]

Thay các biểu thức đã hoàn thành bình phương vào phương trình ban đầu:
\[ (x - 2y)^2 - 4y^2 + 5(y - 1)^2 - 5 + 14 = 0 \]

Đơn giản hóa phương trình:
\[ (x - 2y)^2 - 4y^2 + 5(y - 1)^2 + 9 = 0 \]

Ta có thể viết lại phương trình này như sau:
\[ (x - 2y)^2 + 5(y - 1)^2 - 4y^2 + 9 = 0 \]

Bây giờ, ta sẽ xem xét các hạng tử còn lại:
\[ (x - 2y)^2 + 5(y - 1)^2 - 4y^2 + 9 = 0 \]

Ta nhận thấy rằng \( (x - 2y)^2 \), \( 5(y - 1)^2 \), và \( -4y^2 \) đều là các số không âm (vì bình phương của một số thực luôn không âm). Tuy nhiên, tổng của các số không âm này cộng với 9 không thể bằng 0, vì 9 là một số dương.

Do đó, phương trình:
\[ (x - 2y)^2 + 5(y - 1)^2 - 4y^2 + 9 = 0 \]
không thể có nghiệm thực.

Vậy, không tồn tại các số thực \( x, y, z \) thỏa mãn phương trình \( x^2 + 5y^2 + 2x - 4xy - 10y + 14 = 0 \).