Cho x và y thỏa: x^2 - 2xy + 2y^2 + 2y + 1 = 0. Tính giá trị biểu thức B = 2023x + 2024y

Để giải phương trình \(x^2 - 2xy + 2y^2 + 2y + 1 = 0\), ta sẽ biến đổi và tìm các giá trị của \(x\) và \(y\).

Trước tiên, ta có thể nhận xét phương trình này như sau:

\[
x^2 - 2xy + 2y^2 + 2y + 1 = 0
\]

Có thể thử viết lại theo dạng một phương trình bậc hai theo biến \(x\):

\[
x^2 - 2xy + (2y^2 + 2y + 1) = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\), trong trường hợp này \(a = 1\), \(b = -2y\), và \(c = 2y^2 + 2y + 1\).

Tính discriminant (định thức):

\[
D = b^2 - 4ac = (-2y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2y^2 + 2y + 1)
\]

Tính \(D\):

\[
D = 4y^2 - 4(2y^2 + 2y + 1) = 4y^2 - 8y^2 - 8y - 4 = -4y^2 - 8y - 4
\]

Giờ ta phải điều kiện để \(D \geq 0\) để phương trình bậc hai có nghiệm:

\(-4(y^2 + 2y + 1) \geq 0\)

Điều này chỉ xảy ra khi:

\[
y^2 + 2y + 1 = (y+1)^2 \leq 0
\]

Điều này có nghĩa là \(y + 1 = 0\) hay \(y = -1\).

Thay \(y = -1\) vào phương trình ban đầu để tìm \(x\):

\[
x^2 - 2x(-1) + 2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = 0
\]

\[
x^2 + 2x + 2 - 2 + 1 = 0
\]
\[
x^2 + 2x + 1 = 0
\]

\[
(x + 1)^2 = 0 \implies x = -1
\]

Vậy ta có nghiệm \(x = -1\) và \(y = -1\).

Giờ tính giá trị của biểu thức \(B = 2023x + 2024y\):

\[
B = 2023(-1) + 2024(-1) = -2023 - 2024 = -4047
\]

Vậy giá trị của biểu thức \(B\) là:

\[
\boxed{-4047}
\]