Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán này.

### Phần 1: Chứng minh tứ giác \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp

Để chứng minh tứ giác \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng của hai góc đối diện của tứ giác này bằng \(180^\circ\).

1. Vì \(AB\) và \(AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn tại các điểm \(B\) và \(C\), nên:
\[
\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ
\]

2. Xét tứ giác \(ABOC\):
\[
\angle OBA + \angle OCA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]

Do đó, tứ giác \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp.

### Phần 2: Chứng minh các đẳng thức

#### Chứng minh \(AB^2 = AE \cdot AD\)

1. Vì \(AB\) và \(AC\) là các tiếp tuyến từ điểm \(A\) đến đường tròn \((O)\), nên:
\[
AB = AC
\]

2. Theo định lý tiếp tuyến, ta có:
\[
AB^2 = AE \cdot AD
\]

#### Chứng minh \(AH \cdot AO = AE \cdot AD\)

1. Xét tam giác \(AOB\) và \(AOC\), vì \(AB = AC\) và \(AO\) là chung, nên hai tam giác này đồng dạng.

2. Gọi \(H\) là giao điểm của \(BC\) và \(AO\). Theo định lý đường kính và tiếp tuyến, ta có:
\[
\angle AOB = \angle AOC = 2 \angle ABC = 2 \angle ACB
\]

3. Do đó, \(H\) là điểm chính giữa của \(BC\) và \(AO\), và ta có:
\[
AH \cdot AO = AE \cdot AD
\]

#### Chứng minh \(\angle HDO = \angle HBE\)

1. Xét tam giác \(HDO\) và tam giác \(HBE\), ta cần chứng minh rằng hai góc này bằng nhau.

2. Vì \(BD\) là đường kính, nên \(\angle BOD = 90^\circ\).

3. Do đó, \(\angle HDO = \angle HBE\) vì chúng là các góc nội tiếp cùng chắn cung \(BE\).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được các đẳng thức và góc cần thiết trong bài toán.