a) Để chứng minh đường thẳng \( d: y = (m - 2)x + 5 \) luôn cắt parabol \( P: y = x^2 \) tại hai điểm phân biệt, ta cần tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của chúng.

Phương trình hoành độ giao điểm được tìm bằng cách giải hệ phương trình:
\[ x^2 = (m - 2)x + 5 \]

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế, ta có:
\[ x^2 - (m - 2)x - 5 = 0 \]

Đây là phương trình bậc hai theo \( x \). Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, ta cần điều kiện:
\[ \Delta > 0 \]

Trong đó, \(\Delta\) là biệt thức của phương trình bậc hai, được tính như sau:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
Với \( a = 1 \), \( b = -(m - 2) \), và \( c = -5 \), ta có:
\[ \Delta = (-(m - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) \]
\[ \Delta = (m - 2)^2 + 20 \]

Ta thấy rằng \((m - 2)^2\) luôn không âm và 20 là số dương, do đó:
\[ \Delta = (m - 2)^2 + 20 > 0 \]

Vì \(\Delta\) luôn dương với mọi giá trị của \( m \), nên phương trình \( x^2 - (m - 2)x - 5 = 0 \) luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó, đường thẳng \( d \) luôn cắt parabol \( P \) tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi \( x_1 \) và \( x_2 \) là hoành độ các giao điểm của \( d \) và \( P \). Theo định lý Viète, tổng các nghiệm của phương trình \( x^2 - (m - 2)x - 5 = 0 \) là:
\[ x_1 + x_2 = m - 2 \]

Ta cần tìm tất cả giá trị của \( m \) để \( x_1 + 5x_2 = 0 \).

Từ \( x_1 + 5x_2 = 0 \), ta có:
\[ x_1 = -5x_2 \]

Thay \( x_1 = -5x_2 \) vào phương trình tổng nghiệm:
\[ x_1 + x_2 = m - 2 \]
\[ -5x_2 + x_2 = m - 2 \]
\[ -4x_2 = m - 2 \]
\[ x_2 = \frac{2 - m}{4} \]

Thay \( x_2 = \frac{2 - m}{4} \) vào phương trình tích nghiệm:
\[ x_1 x_2 = -5 \]
\[ (-5x_2) \cdot x_2 = -5 \]
\[ -5 \left( \frac{2 - m}{4} \right)^2 = -5 \]
\[ \left( \frac{2 - m}{4} \right)^2 = 1 \]
\[ \frac{(2 - m)^2}{16} = 1 \]
\[ (2 - m)^2 = 16 \]
\[ 2 - m = \pm 4 \]

Giải các trường hợp:
1. \( 2 - m = 4 \)
\[ m = -2 \]

2. \( 2 - m = -4 \)
\[ m = 6 \]

Vậy, các giá trị của \( m \) để \( x_1 + 5x_2 = 0 \) là \( m = -2 \) và \( m = 6 \).