Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các tính chất của hình thang và các đoạn thẳng liên quan.

Trước hết, ta có các thông tin sau:
- Hình thang ABCD với đáy lớn CD = 6 cm và đáy bé AB = CD = 6 cm.
- Kéo dài DC về phía C một đoạn CM sao cho CM = 1/3 CD = 1/3 * 6 cm = 2 cm.

Vậy tổng chiều dài của DM là:
\[ DM = DC + CM = 6 cm + 2 cm = 8 cm \]

Tiếp theo, nối A với M và cắt BC tại I. Chúng ta cần so sánh BI và BC.

Do M nằm trên đường kéo dài của CD, ta có thể sử dụng tính chất của các đoạn thẳng và tỉ lệ để giải quyết bài toán.

Xét tam giác ADM và tam giác ABC:
- Ta có: \( AD \parallel BC \) (vì ABCD là hình thang).
- Ta cũng có: \( \frac{DM}{DC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \).

Do đó, tỉ lệ đoạn thẳng tương ứng trong tam giác ADM và tam giác ABC là:
\[ \frac{AM}{AC} = \frac{DM}{DC} = \frac{4}{3} \]

Bây giờ, xét tam giác AMI và tam giác ACI:
- Do \( \frac{AM}{AC} = \frac{4}{3} \), ta có thể suy ra tỉ lệ các đoạn thẳng tương ứng trong tam giác AMI và tam giác ACI.

Vì \( I \) là điểm cắt của AM với BC, ta có thể sử dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với đường thẳng AM cắt BC tại I:
\[ \frac{BI}{IC} = \frac{AB}{DM} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]

Vậy, tỉ lệ giữa BI và IC là:
\[ \frac{BI}{IC} = \frac{3}{4} \]

Do đó, \( BI \) chiếm 3 phần và \( IC \) chiếm 4 phần của đoạn BC. Tổng cộng đoạn BC có 7 phần, trong đó \( BI \) chiếm 3 phần.

Vậy tỉ lệ giữa \( BI \) và \( BC \) là:
\[ \frac{BI}{BC} = \frac{3}{7} \]

Kết luận: \( BI \) bằng \(\frac{3}{7}\) của \( BC \).