Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của đường tròn và các góc nội tiếp.

**a) Chứng minh tứ giác \(A'HB'C\) nội tiếp:**

Ta cần chứng minh rằng tổng các góc đối của tứ giác \(A'HB'C\) bằng \(180^\circ\).

- Xét góc \(\angle A'HC\):
\[
\angle A'HC = 180^\circ - \angle A'HA
\]
Do \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\), nên \(\angle A'HA = 90^\circ\). Vậy:
\[
\angle A'HC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ
\]

- Xét góc \(\angle B'CA'\):
\[
\angle B'CA' = 90^\circ
\]
Do \(A'\) và \(B'\) là chân đường cao từ \(A\) và \(B\) xuống \(BC\) và \(AC\) tương ứng, nên \(\angle B'CA' = 90^\circ\).

Vậy tổng hai góc đối của tứ giác \(A'HB'C\) là:
\[
\angle A'HC + \angle B'CA' = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]

Do đó, tứ giác \(A'HB'C\) nội tiếp.

**b) Chứng minh tứ giác \(ABA'B'\) nội tiếp:**

Ta cần chứng minh rằng tổng các góc đối của tứ giác \(ABA'B'\) bằng \(180^\circ\).

- Xét góc \(\angle ABA'\):
\[
\angle ABA' = 90^\circ
\]
Do \(A'\) là chân đường cao từ \(A\) xuống \(BC\), nên \(\angle ABA' = 90^\circ\).

- Xét góc \(\angle AB'A\):
\[
\angle AB'A = 90^\circ
\]
Do \(B'\) là chân đường cao từ \(B\) xuống \(AC\), nên \(\angle AB'A = 90^\circ\).

Vậy tổng hai góc đối của tứ giác \(ABA'B'\) là:
\[
\angle ABA' + \angle AB'A = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]

Do đó, tứ giác \(ABA'B'\) nội tiếp.

**c) Chứng minh \(CD = CE\):**

Ta cần chứng minh rằng \(CD\) và \(CE\) bằng nhau.

- Xét tam giác \(HBC\):
\[
\angle HBC = 90^\circ
\]
Do \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\), nên \(H\) nằm trên đường cao từ \(B\) xuống \(AC\), và \(\angle HBC = 90^\circ\).

- Xét tam giác \(HCB\):
\[
\angle HCB = 90^\circ
\]
Do \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\), nên \(H\) nằm trên đường cao từ \(C\) xuống \(AB\), và \(\angle HCB = 90^\circ\).

Do đó, \(H\) là trung điểm của \(BC\), và \(CD\) và \(CE\) là các đoạn thẳng từ \(C\) đến các điểm \(D\) và \(E\) trên đường tròn nội tiếp. Vì \(D\) và \(E\) là các điểm đối xứng qua \(H\), nên \(CD = CE\).

Vậy, ta đã chứng minh được các phần của bài toán.