Để chứng minh các điểm \( D, E, K \) thẳng hàng, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của đường tròn và các tiếp tuyến.

1. **Tính chất của các tiếp tuyến:**
- Vì \( IA \) và \( IB \) là các tiếp tuyến từ điểm \( I \) đến đường tròn \((O)\), nên \( IA = IB \).
- \( \angle IAO = \angle IBO = 90^\circ \) (góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại tiếp điểm).

2. **Tính chất của đường kính và đường vuông góc:**
- \( AC \) là đường kính của đường tròn \((O)\), do đó \( \angle ABC = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
- Từ \( O \) kẻ tia vuông góc với \( AC \), tia này sẽ đi qua trung điểm của \( AC \) và cắt tia \( CB \) tại \( H \).

3. **Xác định các điểm giao nhau:**
- \( D \) là giao điểm của tia vuông góc từ \( O \) với \( IB \).
- \( E \) là giao điểm của \( OI \) với \( AH \).
- \( K \) là giao điểm của \( OB \) với \( IH \).

4. **Chứng minh \( D, E, K \) thẳng hàng:**
- Xét tam giác \( OAI \) và tam giác \( OBI \):
+ \( OA = OB \) (bán kính đường tròn).
+ \( IA = IB \) (tính chất của tiếp tuyến).
+ \( \angle OAI = \angle OBI = 90^\circ \).
+ Do đó, hai tam giác \( OAI \) và \( OBI \) bằng nhau (theo cạnh-góc-cạnh).

- Xét tam giác \( OAH \) và tam giác \( OBH \):
+ \( OA = OB \) (bán kính đường tròn).
+ \( AH = BH \) (vì \( H \) là trung điểm của \( AB \)).
+ \( \angle OAH = \angle OBH = 90^\circ \).
+ Do đó, hai tam giác \( OAH \) và \( OBH \) bằng nhau (theo cạnh-góc-cạnh).

- Xét tam giác \( OIH \):
+ \( OI \) là đường trung trực của \( AB \) (vì \( IA = IB \) và \( \angle IAO = \angle IBO = 90^\circ \)).
+ \( H \) là trung điểm của \( AB \), do đó \( OH \) là đường trung trực của \( AB \).

- Xét tam giác \( OID \):
+ \( OD \) là đường trung trực của \( IB \) (vì \( D \) là giao điểm của tia vuông góc từ \( O \) với \( IB \)).
+ \( D \) nằm trên đường trung trực của \( IB \).

- Xét tam giác \( OEK \):
+ \( E \) là giao điểm của \( OI \) với \( AH \), do đó \( E \) nằm trên đường trung trực của \( AB \).
+ \( K \) là giao điểm của \( OB \) với \( IH \), do đó \( K \) nằm trên đường trung trực của \( AB \).

- Do đó, \( D, E, K \) đều nằm trên đường trung trực của \( AB \), nên chúng thẳng hàng.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng các điểm \( D, E, K \) thẳng hàng.