Để tìm nhân tử của biểu thức \( A = 5x^3 + 16x^2 + 8x + 16 + \frac{3}{x} \), ta cần phân tích biểu thức này thành các nhân tử của nó. Tuy nhiên, biểu thức này có chứa một phân số \(\frac{3}{x}\), điều này làm cho việc phân tích trở nên phức tạp hơn.

Trước tiên, ta có thể viết lại biểu thức \( A \) dưới dạng một phân số chung:

\[ A = 5x^3 + 16x^2 + 8x + 16 + \frac{3}{x} = \frac{5x^4 + 16x^3 + 8x^2 + 16x + 3}{x} \]

Bây giờ, ta cần phân tích tử số \( 5x^4 + 16x^3 + 8x^2 + 16x + 3 \).

Ta sẽ thử sử dụng phương pháp phân tích đa thức bằng cách tìm nghiệm của đa thức tử số. Giả sử \( f(x) = 5x^4 + 16x^3 + 8x^2 + 16x + 3 \).

Ta sẽ thử các nghiệm hữu tỉ có dạng \( \pm \frac{p}{q} \), trong đó \( p \) là ước của hệ số tự do (3) và \( q \) là ước của hệ số cao nhất (5).

Các ước của 3 là: \( \pm 1, \pm 3 \).

Các ước của 5 là: \( \pm 1, \pm 5 \).

Do đó, các nghiệm hữu tỉ có thể là: \( \pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 3, \pm \frac{3}{5} \).

Ta sẽ thử nghiệm các giá trị này vào đa thức \( f(x) \):

1. Thử \( x = 1 \):
\[ f(1) = 5(1)^4 + 16(1)^3 + 8(1)^2 + 16(1) + 3 = 5 + 16 + 8 + 16 + 3 = 48 \neq 0 \]

2. Thử \( x = -1 \):
\[ f(-1) = 5(-1)^4 + 16(-1)^3 + 8(-1)^2 + 16(-1) + 3 = 5 - 16 + 8 - 16 + 3 = -16 \neq 0 \]

3. Thử \( x = \frac{1}{5} \):
\[ f\left(\frac{1}{5}\right) = 5\left(\frac{1}{5}\right)^4 + 16\left(\frac{1}{5}\right)^3 + 8\left(\frac{1}{5}\right)^2 + 16\left(\frac{1}{5}\right) + 3 \]
\[ = 5\left(\frac{1}{625}\right) + 16\left(\frac{1}{125}\right) + 8\left(\frac{1}{25}\right) + 16\left(\frac{1}{5}\right) + 3 \]
\[ = \frac{5}{625} + \frac{16}{125} + \frac{8}{25} + \frac{16}{5} + 3 \]
\[ = \frac{5}{625} + \frac{80}{625} + \frac{200}{625} + \frac{2000}{625} + \frac{1875}{625} \]
\[ = \frac{5 + 80 + 200 + 2000 + 1875}{625} = \frac{4160}{625} \neq 0 \]

4. Thử \( x = -\frac{1}{5} \):
\[ f\left(-\frac{1}{5}\right) = 5\left(-\frac{1}{5}\right)^4 + 16\left(-\frac{1}{5}\right)^3 + 8\left(-\frac{1}{5}\right)^2 + 16\left(-\frac{1}{5}\right) + 3 \]
\[ = 5\left(\frac{1}{625}\right) - 16\left(\frac{1}{125}\right) + 8\left(\frac{1}{25}\right) - 16\left(\frac{1}{5}\right) + 3 \]
\[ = \frac{5}{625} - \frac{16}{125} + \frac{8}{25} - \frac{16}{5} + 3 \]
\[ = \frac{5}{625} - \frac{80}{625} + \frac{200}{625} - \frac{2000}{625} + \frac{1875}{625} \]
\[ = \frac{5 - 80 + 200 - 2000 + 1875}{625} = \frac{0}{625} = 0 \]

Như vậy, \( x = -\frac{1}{5} \) là một nghiệm của đa thức \( f(x) \).

Do đó, \( x + \frac{1}{5} = 0 \) hay \( 5x + 1 = 0 \) là một nhân tử của \( f(x) \).

Ta có thể chia \( f(x) \) cho \( 5x + 1 \) để tìm các nhân tử còn lại. Tuy nhiên, việc này khá phức tạp và cần sử dụng phương pháp chia đa thức hoặc các công cụ tính toán khác để hoàn thành.

Tóm lại, một nhân tử của biểu thức \( A \) là \( 5x + 1 \).