Để chứng minh rằng nếu \( P(x) = x^4 - 4x^3 + 5ax^2 - 4bx + c \) chia hết cho \( Q(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 3 \) thì \( a + b + c = 0 \), ta sẽ sử dụng phép chia đa thức và điều kiện chia hết.

Giả sử \( P(x) \) chia hết cho \( Q(x) \), tức là tồn tại một đa thức \( R(x) \) sao cho:
\[ P(x) = Q(x) \cdot R(x) \]

Vì \( P(x) \) là đa thức bậc 4 và \( Q(x) \) là đa thức bậc 3, nên \( R(x) \) phải là đa thức bậc 1. Giả sử:
\[ R(x) = dx + e \]

Khi đó:
\[ P(x) = (x^3 + 3x^2 - 9x - 3)(dx + e) \]

Ta thực hiện phép nhân:
\[ P(x) = (x^3 + 3x^2 - 9x - 3)(dx + e) \]
\[ = dx^4 + 3dx^3 - 9dx^2 - 3dx + ex^3 + 3ex^2 - 9ex - 3e \]
\[ = dx^4 + (3d + e)x^3 + (3e - 9d)x^2 + (-9e - 3d)x - 3e \]

So sánh với \( P(x) = x^4 - 4x^3 + 5ax^2 - 4bx + c \), ta có các hệ số tương ứng:
1. \( dx^4 \) với hệ số của \( x^4 \) là 1, do đó \( d = 1 \).
2. \( (3d + e)x^3 \) với hệ số của \( x^3 \) là -4, do đó \( 3(1) + e = -4 \) hay \( e = -7 \).
3. \( (3e - 9d)x^2 \) với hệ số của \( x^2 \) là \( 5a \), do đó \( 3(-7) - 9(1) = 5a \) hay \( -21 - 9 = 5a \) hay \( -30 = 5a \) hay \( a = -6 \).
4. \( (-9e - 3d)x \) với hệ số của \( x \) là \( -4b \), do đó \( -9(-7) - 3(1) = -4b \) hay \( 63 - 3 = -4b \) hay \( 60 = -4b \) hay \( b = -15 \).
5. Hệ số tự do \( -3e \) với hệ số tự do là \( c \), do đó \( -3(-7) = c \) hay \( c = 21 \).

Cuối cùng, ta có:
\[ a = -6, \quad b = -15, \quad c = 21 \]

Tổng \( a + b + c \) là:
\[ a + b + c = -6 + (-15) + 21 = 0 \]

Vậy ta đã chứng minh được rằng nếu \( P(x) \) chia hết cho \( Q(x) \) thì \( a + b + c = 0 \).