Để giải bài toán này, ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

### Phần a: Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC

Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên:
\[ \angle BAC = 90^\circ \]

Đường cao AH hạ từ A xuống BC, nên:
\[ \angle BAH = \angle BAC = 90^\circ \]

Xét tam giác HBA và tam giác ABC:
- \(\angle HBA\) chung.
- \(\angle BAH = \angle BAC = 90^\circ\).

Vậy, tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC theo trường hợp góc-góc (AA).

### Phần b: Tính AH, BH, CH

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \, \text{cm} \]

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20} = 9.6 \, \text{cm} \]

Để tính BH và CH, ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\[ BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{12^2}{20} = \frac{144}{20} = 7.2 \, \text{cm} \]
\[ CH = \frac{AC^2}{BC} = \frac{16^2}{20} = \frac{256}{20} = 12.8 \, \text{cm} \]

### Phần c: Chứng minh AH = IK và AI.AB = AK.AC

Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Ta có:
- AI vuông góc với HI.
- AK vuông góc với HK.

Do đó, AIHK là hình chữ nhật, nên:
\[ AH = IK \]

Để chứng minh \( AI \cdot AB = AK \cdot AC \), ta xét tam giác vuông AIH và tam giác vuông AKH:
- Trong tam giác vuông AIH, ta có:
\[ AI = AH \cdot \cos(\angle BAH) = AH \cdot \frac{AB}{BC} \]
- Trong tam giác vuông AKH, ta có:
\[ AK = AH \cdot \cos(\angle CAH) = AH \cdot \frac{AC}{BC} \]

Nhân hai biểu thức trên với nhau:
\[ AI \cdot AB = AH \cdot \frac{AB}{BC} \cdot AB = \frac{AH \cdot AB^2}{BC} \]
\[ AK \cdot AC = AH \cdot \frac{AC}{BC} \cdot AC = \frac{AH \cdot AC^2}{BC} \]

Do đó:
\[ AI \cdot AB = AK \cdot AC \]

Vậy, ta đã chứng minh được \( AH = IK \) và \( AI \cdot AB = AK \cdot AC \).